Вопросы, выносимые на экзамен по алгебре Вопросы, выносимые на экзамен по алгебре
(ОКН, 2001/02 уч.г.)

  1. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Ассоциированные однородные системы. Расширенная матрица СЛАУ. Совместность СЛАУ. Эквивалентность систем СЛАУ Элементарные преобразования.
  2. Приведение к ступенчатому виду. Исследование СЛАУ.
  3. Множества и отображения. Понятия пересечения, объединения, декартова произведения и разности множеств. Определение отображения. Образ и прообраз отображения. Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Композиция отображений. Обратное отображение. Мощность множества.
  4. Бинарные отношения. Определение. Отношение эквивалентности. Определения фактор-множества и естественного отображения.
  5. Перестановки. Определение. Композиция перестановок. Группа перестановок.
  6. Цикловая структура перестановки. Транспозиции.
  7. Инверсии, декремент и четность перестановки.
  8. Арифметика целых чисел. Основная теорема арифметики. НОД и НОК в Z. Взаимно простые числа. Алгоритм деления с остатком.
  9. Алгоритм Евклида нахождения НОД.
  10. Теория определителей. Определение и основные свойства (9 свойств).
  11. Алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа (без док).
  12. Метод Крамера.
  13. n-мерное линейное (векторное) пространство. Определение. Линейная зависимость векторов. Базис. Размерность пространства.
  14. Матрицы. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров.
  15. СЛАУ. Теорема Кронекера Капелли.
  16. Общее решение СЛАУ.
  17. Общее решение однородной системы.
  18. Фундаментальная система решений (ФСР). Связь между ФСР однородной системы и общим решением неоднородной системы.
  19. Алгебра матриц. Сумма, произведение матриц и умножение матрицы на число и их свойства.
  20. Теорема о произведении определителей.
  21. Невырожденные матрицы. Обратная матрица.
  22. Теорема о ранге произведения матриц.
  23. Понятие алгебраической структуры. Ассоциативные алгебраические операции. Нейтральный и обратный элементы. Определение полугруппы, моноида и группы.
  24. Циклические группы, порядок группы. Изоморфизм групп. Теорема Кэли (без док.).
  25. Подгруппы. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
  26. Нормальные делители, фактор-группы.
  27. Гомоморфизмы групп и его основные свойства. Ядро гомоморфизма. Теорема о ядре гомоморфизма. Определение мономорфизма, эпиморфизма.
  28. Основная теорема о гомоморфизме групп.
  29. Определение кольца, подкольца. Гомоморфизмы колец. Целостное кольцо. Определение поля.
  30. Кольцо классов вычетов. Малая теорема Ферма.
  31. Изоморфизм полей. Простые поля. Характеристика поля.
  32. Кольцо многочленов. Алгоритм деления с остатком.
  33. Делители многочленов. НОД в кольце многочленов. Алгоритм Евклида в кольце многочленов.
  34. Теорема о представлении НОД через свои аргументы.
  35. Взаимно простые многочлены. Свойства делимости.
  36. Корни многочленов. Теорема о делении на линейный многочлен. Теорема Безу. Схема Горнера.
  37. Кратность корня. Определение производной многочлена. Теорема о кратности корня.
  38. Основная теорема алгебры (без док.) и ее следствия. Разложение многочлена на неприводимые множители. Интерполяционная формула Лагранжа. Формулы Виета.
  39. Многочлены с действительными коэффициентами. Сопряженные корни.
  40. Рациональные корни целочисленных многочленов ([2, гл. 10. § 57. C.355-358]).
  41. Алгебраические числа ([2, гл. 10. § 58. C.355-363]).
  42. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Лексикографическая запись многочлена, высший член. Теорема о выражении симметрического многочлена через элементарные.
  43. Метод неопределенных коэффициентов для симметрические многочленов.
  44. Результант многочленов. Исключение неизвестного из системы.
  45. Дискриминант многочлена.
  46. Аксиомы линейного (векторного) пространства. Простейшие свойства.
  47. Изоморфизм линейных (векторных) пространств. Базис и размерность пространства. Координаты вектора. Теорема об изоморфизме линейных пространств.
  48. Преобразование координат при переходе к новому базису.
  49. Линейные операторы и линейные преобразования. Переход к новому базису для линейного преобразования. Операции над линейными преобразованиями.
  50. Линейные оболочки. Линейные подпространства. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств.
  51. Характеристические корни и собственные значения линейного преобразования. Определение собственного вектора. Теорема о диагонализируемости матрицы линейного преобразования.
  52. Квадратичные формы (КФ). Теорема о замене переменных в квадратичной форме.
  53. Канонический вид квадратичной формы. Основная теорема о КФ.
  54. Нормальный вид КФ. Индексы инерции, сигнатура. Закон инерции.
  55. Положительно определенные КФ. Критерий положительной определенности КФ (критерий Сильвестра).
  56. Скалярное произведение. Определение евклидова пространства.
  57. Теорема о преобразовании линейного пространства в евклидово.
  58. Ортогональность векторов. Линейная независимость ортогональной системы векторов.
  59. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
  60. Ортонормированный базис. Теорема о существовании ортонормированного базиса.
  61. Теорема об изоморфизме евклидовых пространств.
  62. Аксиомы унитарного пространства.
  63. Два определения ортогонального преобразования евклидова пространства. Эквивалентность определений.
  64. Ортогональные матрицы и их свойства. Теорема о переходе от одного ортонормированного базиса к другому.
  65. Теорема об инварианте ортогонального преобразования (сохраняет скалярное произведение).
  66. Симметрическое преобразование. Представление симметрического преобразования в ортонормированном базисе. Сумма симметрических преобразований. Умножение симметрического преобразования на число.
  67. Теорема о характеристических корнях симметрического преобразования.
  68. Теорема о собственных значениях и собственных векторах симметрического преобразования. Инвариантные подпространства.
  69. Теорема о приведение симметрической матрицы к диагональному виду.
  70. Теорема о приведении КФ к главным осям.
  71. Полиномиальные l-матрицы. Элементарные преобразования l-матрицы. Эквивалентность l-матриц.
  72. Каноническая l-матрица. Теорема о приведенни к каноническому виду. Инвариантные множители l-матрицы.
  73. Единственность канонического вида. Система наибольших общих делителей миноров l-матрицы.
  74. Унимодулярные l-матрицы. Теорема об определителе унимодулярной матрицы и ее следствие.
  75. Теорема о приведении с помощью унимодулярных преобразований к каноническому виду.
  76. Матричные многочлены. Алгоритм деления матричных многочленов (без док.).
  77. Основная теорема о подобии матриц.
  78. Жорданова клетка. Канонический вид характеристической матрицы жордановой клетки. Лемма о каноническом виде диагональной l-матрицы.
  79. Жорданова нормальная форма матрицы. Канонический вид характеристической матрицы жордановой формы.
  80. Приведение матрицы к жордановой форме. Алгоритм вычисления подобного преобразования.
  81. Минимальный многочлен линейного преобразования. Теорема о делимости аннулирующего многочлена на минимальный.
  82. Теорема о равенстве минимального многочлена и последнего инвариантного множителя соответствующей характеристической матрицы. Теорема Гамильтона-Кэли.

Рекомендуемая литература для подготовки к экзамену

  1. Кострикин А.И. Введение в алгебру Т. I,II. М: Физматлит. 1994.
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965.

Дополнительная литература
для дальнейшего самостоятелного изучения

  1. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Н.: Научная книга, 1997.
  2. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
  3. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. М.: Мир. 1978.
  4. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1977.
  5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967
  6. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Учебник для вузов. - М.: физ.-мат. лит. 2000.
  7. Кострикин А.И. Введение в алгебру М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.

Вопросы составил к.т.н.,
доцент каф. инфомационной
безопасности Д.Н. Лавров


File translated from TEX by TTH, version 2.25.
On 06 Jun 2002, 00:56.