Экзаменационные вопросы по аналитической геометрии Экзаменационные вопросы по аналитической геометрии

(отделение компьютерных наук, 1 курс, 2001-2002 уч.г.)

  1. Направленные отрезки, векторы, сложение векторов, умножение вектора на число.
  2. Скалярное произведение и его свойства.
  3. Векторное произведение и его свойства.
  4. Смешанное произведение векторов и его свойства. Объем параллелепипеда. Правые и левые тройки векторов.
  5. Координаты вектора. Теорема о единственности представления вектора в данном базисе.
  6. Ортонормированный базис. Представление скалярного, векторного и смешанного произведения векторов в ортонормированном базисе.
  7. Декартовы (аффинные) координаты на плоскости и в пространстве.
  8. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости: деление отрезка в данном отношении, расстояние между двумя точками, вычисление площади треугольника и объема тетраэдра.
  9. Общий вид уравнения прямой на плоскости.
  10. Расположение прямой относительно системы координат, уравнение в отрезках.
  11. Определение угла между двумя прямыми и его свойства. Уравнение прямой, разрешенное относительно y. Формула угла между двумя прямыми.
  12. Нормаль прямой. Условия перпендикулярности и параллельности двух прямых на плоскости.
  13. Расстояние от точки до прямой.
  14. Основные задачи на прямую: уравнение прямой, проходящей через заданную точку; уравнение прямой, проходящей через две заданные точки; уравнение прямой, заданной точкой и направлением (каноническое и параметрическое задание прямой).
  15. Преобразование координат: перенос начала координат, поворот вокруг начала, изменение направления оси.
  16. Канонические уравнения кривых второго порядка (КВП). Форма конических сечений.
  17. Фокальное свойство эллипса.
  18. Фокальное свойство гиперболы.
  19. Парабола как геометрическое место точек. Директриса параболы.
  20. Директрисы эллипса и гиперболы. Эксцентриситет.
  21. Асимптоты гиперболы.
  22. Касательные к коническим сечениям.
  23. Оптические свойства конических сечений.
  24. Диаметры эллипса и гиперболы. Свойство семейства параллельных хорд гиперболы и эллипса.
  25. Диаметры параболы. Свойство семейства параллельных хорд параболы.
  26. Сопряженные диаметры.
  27. Преобразование аффинных координат. Ортогональные преобразования.
  28. Общее уравнение плоскости в пространстве.
  29. Уравнение в отрезках. Расположение плоскости относительно координатных плоскостей.
  30. Нормаль плоскости. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
  31. Взаимное расположение плоскостей.
  32. Способы задания уравнения прямой в пространстве.
  33. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых (пересекаются, перпендикулярны, скрещиваются, параллельны).
  34. Основные задачи на плоскость и прямую.
  35. Поверхности второго порядка (ПВП). Векторно матричные представления ПВП. Канонические уравнения ПВП.
  36. Сопряженные гиперболоиды. Асимптотический конус.
  37. Прямолинейные образующие ПВП.
  38. Приведение КВП к каноническому виду: определение матрицы вращения и перенос начала координат. Классификация КВП. Приведение ПВП к каноническому виду. Теорема о классификации ПВП (без доказательства).
  39. Диаметры и диаметральные плоскости ПВП.
  40. Преобразование квадратичной формы (КФ) к новым переменным.
  41. Инварианты КВП и ПВП.
  42. Исследование КВП и ПВП по уравнениям в произвольной системе координат (случай центральных кривых и центральных поверхностей).
  43. Исследование КВП (случай параболы) и ПВП (случай параболоидов) по уравнениям в произвольной системе координат.
  44. Диаметры КВП и диаметральные плоскости ПВП, заданных уравнением общего вида.
  45. Центры КВП и ПВП, заданных уравнением общего вида.
  46. Оси симметрии КВП и плоскости симметрии ПВП, заданных уравнением общего вида.
  47. Асимптоты гиперболы и асимптотический конус для уравнений общего вида.
  48. Касательные прямые КВП и касательная плоскость ПВП, заданных уравнением общего вида.
  49. Определение и простейшие свойства аффинных преобразований.
  50. Основное свойство аффинного преобразования.
  51. Геометрическое задание аффинного преобразования.
  52. Инвариант аффинного преобразования.
  53. Геометрический смысл аффинного преобразования.

Рекомендуемая литература

  1. Погорелов А.В. Лекции по аналитической геометрии. Харьков: 1963. С. 183.
  2. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. Уч. пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. С.672.
  3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. С.272.
  4. Ильин В.А, Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. Учебник для университетов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. С.224.

Вопросы подготовил
к.т.н., доцент каф. информационной безопасности
Лавров Д.Н.